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自由模

在抽象代數中，一個環 R 上的自由模是帶有基底的模。

[编辑] 定義

一個自由 R-模 M 是 R-模範疇中的自由對象。具體言之，即存在一族元素 \{m_i\}_{i \in I}（可能有無限多個）使得：

  • 任何 m \in M 都可表成它們的線性組合 m = \sum_{i \in I} r_i m_i，其中只有有限個 ri 非零。
  • 若 \sum_{i \in I} r_i m_i = \sum_{i \in I} r_i' m_i，則 \forall i,\; r_i=r_i'。

等價說法是：M \simeq R^I。此時 \{m_i\}_{i \in I} 稱作 M 的一組基底。

[编辑] 性質

  • M 的秩可定義為 I 的基數，與基底選取無關。
  • 自由模皆是射影模，也是平坦模。
  • 若接受選擇公理，則任何除環上的模都是自由模，例如域上的向量空間。
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