数学结构主义

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在数学哲学中，结构主义(构造主义)认为要证明一个数学对象存在就必须把它构造出来。如果假设一个对象不存在并从该假设推导出一个矛盾，对于结构主义者来说不足以证明该对象存在。见构造式证明。

结构主义常常和直觉主义混淆，实际上，直觉主义只是结构主义的一种。直觉主义强调数学的基础建立在数学家们个人的直觉上，这样就把数学在本质上作为一种主观活动。结构主义不这样强调，并和对数学的客观看法保持一致。

[编辑] 构造主义数学

构造主义者的数学使用构造性逻辑，该逻辑将真实性和证明等同起来。要构造式的证明 $P \or Q$ ，我们必须证明 $P$ 或 $Q$ ，或两者同时成立。要构造式的证明 $\exists_{x\in X} P(x)$ ，我们必须给出一个特定的 $a\in X$ 和一个 $P (a)$ 的证明。要构造式的证明 $\forall_{x\in X} P(x)$ ，我们必须给出一个算法，它对于每个 $a \in X$ 输出一个 $P (a)$ 的证明。

构造主义同时拒绝采用无穷对象，例如无穷集合和序列。

[编辑] 实分析中的例子

在经典实分析中，实数构造的方法之一是把它作为有理数的柯西列对。这个构造在构造主义数学中不成立，因为序列是无穷的。

作为替换，我们把实数表示为一个算法 $f$ ，它取一个正整数 $n$ 然后输出一对有理数 $(f_\ell(n), f_r(n))$ 使得

$m \le n \implies f_\ell(m) \le f_\ell(n)$

$m \le n \implies f_r(n) \le f_r(m)$

$0 \le f_r(n) - f_\ell(n) \le {1\over n}$

使得当 $n$ 增大，区间 $[f_\ell(n), f_r(n)]$ 变小，而前 $n$ 个这种区间的交不空。我们使用 $f$ 来计算它所表示的实数的任何精度的有理数近似。

在这个定义下，实数 $\sqrt{2}$ 可以用一个算法表示，它对于每个 $0 \le i \le n$ 计算出最大的整数 $a i$ 使得 $a_i^2 \le 2i^2$ 然后输出 $\left(\mathrm{max}\left\{{a_i \over i}\right\}, \mathrm{min}\left\{{a_i+1 \over i}\right\}\right)$ 。

这个定义和采用柯西列的经典定义相关，除了要求序列是构造式的:也就是说，我们有个计算第 $n$ 个序列中的元素的算法，所以有一个计算任意精确的对 $\sqrt{2}$ 的有理数近似的算法。

注意构造性要求使得上述定义和通常非构造主义的实数定义不相容:因为每个算法 $ξ$ 必须是一个有限指令集 $Σ$ 上的有限序列，存在一个双射函数 $f: \Sigma^* \rightarrow \mathbb N$ 。所以所有算法的集合和所有自然数的集合有同样的基数。当使用一个非构造式的定义时，康托对角线论证证明实数比自然数有更高的基数。

[编辑] 数学家们的态度

传统上，数学家对于数学构造主义曾经持怀疑态度，如果不是完全反对的话，很大程度上这是因为它对构造分析的限制．

这些观点希尔伯特在1928年曾有强烈表示．他在Die Grundlagen der Mathematik写道, "把排中律从数学家那里拿走，就象把望远镜从天文学家那里拿走，或是从拳击手那里把拳头拿走一样" [1]. (排中律在构造式逻辑中不成立)． Errett Bishop, 在他1967年的著作Foundations of Constructive Analysis中,作了很多驱散这种恐怖，他的办法是用构造式的框架中发展出传统的分析的大部分．

但是,不是所有数学家都认为Bishop非常成功，因为的他的书必须比经典分析教科书更复杂．

无论如何，多数数学家不认为有把自己限制到构造主义方式，甚至当尽管可以这样做时．

[1] 译自斯坦福哲学百科全书，http://plato.stanford.edu/entries/mathematics-constructive/.

[编辑] 对结构主义有贡献的数学家

[编辑] 分支

[编辑] 参见

[编辑] 外部链接

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