平方根

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平方根，对于非負實數 $x$ 来说，是指某個自乘結果等於 $x$ 的實數，表示為 $\sqrt x$ (√x)，其中属于非負實數的平方根称算術平方根。有时我们说的平方根指算術平方根。正整數的平方根通常是無理數。

$\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y$

$\sqrt x = x^{\frac{1}{2}}$

注意若n是非負實數且 $x 2 = n$ ， $\sqrt{n}$ ≠ $x$ ，因為 $\sqrt{n}$ 必定是正數， $x$ 應等於± $\sqrt{n}$ ；即 $\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ (見絕對值)。

數學史中，最重要的平方根可以說是 $\sqrt{2}$ ，它是第一個公認的無理數。

古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母l亦受不少中世紀的歐洲人採用；亨利·布里格斯在其著作Arithmetica Logarithmica則用橫線當成latus的簡寫，在要被開方的數下畫一線。最有影響的是拉丁語的radix(平方根)，1220年Leconardo在Practica geometriae使用R(R右下角的有一斜劃，像P和x的合體)； $\sqrt {}$ (沒有上面的橫劃)是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用，據說是小楷r的變型；現今常用的 $\sqrt {n}$ 是由笛卡兒在幾何中先用的。

[编辑] 複數的情況

因為在複數裏，平方根函數的值不是連續的， $\sqrt{zw} = \sqrt{z} \sqrt{w}$ 這條定律不成立。如果這條定律仍可用，就會出現一些錯誤的證明，例如︰

$-1 = i \times i = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \times -1} = \sqrt{1} = 1$

注意 $\sqrt{c^2} = \pm c$ ，因此 $\sqrt{a^2 b^2} = \pm ab$ $\sqrt{zw} = \pm \sqrt{z} \sqrt{w}$ ，使用 $a = \sqrt{z}$ 和 $b = \sqrt{w}$ 。

[编辑] 計算方法

[编辑] 計算器

計算器本身有很好的方法來計算指數函數和自然對數，故它會透過以下的恆等式來計算平方根︰

$\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x}$

[编辑] 長除式算法

這個算法的原理是 $(10 a + b) 2 = 100 a 2 + 20 a b + b 2$ 。

首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開，如98765.432內小數點前的65是一組，87是一組，9是一組，小數點後的43是一組，之後是單獨一個2，要補一個0 而得20是一組。如1 04.85 73 得四組，順序為 1' 04. 85' 73'。
將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下

可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止

下面以 $\sqrt{200}$ 準確至2位小數為例子：

直式︰

                            1
                              _____
1                           | 00
1   1x1<or=1                 1 |            
___                          __|___
                             1

                            1     4 .
                              _______
1                           | 00.|
1   1x1<or=1                 1 |    |          
__                           __|____| 
24                           1   00 | 
 4  24x4<or=100                  96 |       
__                           _______|
                                  4

                            1     4.   1 
                              ____________
1                           | 00 |.00 |
1   1x1<or=1                 1 |    |    |    
__                           __|____|    |
24                           1   00 |    |
 4  24x4<or=100                  96 |    |   
___                          _______|____|
281                               4   00 |
  1 281x1<or=400                  2   81 | 
___                               _______|
                                  1   19

                            1     4.   1     4 
                              _________________
1                           | 00 |.00 | 00 |
1       1x1<or=1             1 |    |    |    |    
__                           __|____|    |    |
24                           1   00 |    |    |
 4      24x4<or=100              96 |    |    |
___                          _______|____|    |
281                               4   00 |    |
  1     281x1<or=400              2   81 |    |
____                              _______|____|
2824                              1   19   00 |
   4    2824*4<or=11900           1   12   96 |
____                              ____________|
                                       6   04

                            1     4.   1     4    2
                              ______________________
1                           | 00 |.00 | 00 | 00 |
1       1x1<or=1             1 |    |    |    |    |    
__                           __|____|    |    |    |
24                           1   00 |    |    |    |
 4      24x4<or=100              96 |    |    |    |
___                          _______|____|    |    |
281                               4   00 |    |    |
  1     281x1<or=400              2   81 |    |    |
____                              _______|____|    |
2824                              1   19   00 |    |
   4    2824*4<or=11900           1   12   96 |    |
____                              ____________|____|
28282                                  6   04   00 |
    2   28282*2<or=60400               5   65   64 |
_____                                  ____________|
                                           38   36

四捨五入得答案為14.14

事實上，將算法稍作改動，可以開任何次方的根，詳見移動n次方算法。

[编辑] 正嘗試把直式轉為表格的形式

_______________________________
$\sqrt{ }$	9'	87'	65'	.	43'	20'
9	87	65	.	43	20
9	87	65	.	43	20
9	87	65	.	43	20

[编辑] 尺规作图

[编辑] 問題

給定線段AB和1，求一條長為AB開方的線段。

[编辑] 解法

畫線AB，延長AB至C使AC=1
以BC的中點為圓心，OC為半徑畫圓
過A畫BC的垂直線，垂直線和圓弧交於D，AD即為所求之長度

[编辑] 證明

將整個過程搬到直角座標上，已知AC=1，設

O=(0,0)
AB=n

直徑為BC的圓就是 $x^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2$ （圓的方程式: $x 2 + y 2 =$ 半徑²）

將(n+1)/2-1（A,D所在的x座標）代入上面的方程式
$\left({\frac{n+1}{2}} -1 \right)^2 + y^2 = \left({\frac{n+1}{2}}\right)^2$
解方程，得y=√n

[编辑] 參考

来自“http://www.en.wikilib.com/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9”

个人工具

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